Pencilan adalah nilai atau pengamatan yang jauh dari pengamatan lainnya, yaitu titik data yang berbeda secara signifikan dari titik data lainnya.
Sebuah pengamatan harus selalu dibandingkan dengan pengamatan lain yang dilakukan pada fenomena yang sama sebelum benar-benar menyebutnya sebagai pencilan. Memang, seseorang yang memiliki tinggi 200 cm (6’7” di Amerika Serikat) kemungkinan besar akan dianggap sebagai pencilan dibandingkan dengan populasi umum, tetapi orang yang sama mungkin tidak dianggap sebagai pencilan jika kita mengukur tinggi badan pemain bola basket.
Pencilan mungkin disebabkan oleh variabilitas yang melekat pada fenomena yang diamati. Sebagai contoh, sering kali terdapat pencilan ketika mengumpulkan data gaji, karena beberapa orang menghasilkan lebih banyak uang daripada yang lain.
Pencilan juga dapat muncul karena kesalahan eksperimen, pengukuran, atau pengkodean. Sebagai contoh, seorang manusia dengan berat 786 kg (1733 pon) jelas merupakan kesalahan saat mengkodekan berat subjek. Berat badannya kemungkinan besar 78,6 kg (173 pon) atau 7,86 kg (17 pon), tergantung pada berat badan orang dewasa atau bayi yang diukur.
Karena alasan ini, terkadang masuk akal untuk membedakan dua kelas pencilan secara formal: (i) nilai ekstrem dan (ii) kesalahan. Nilai ekstrem secara statistik dan filosofis lebih menarik, karena merupakan respons yang mungkin terjadi namun tidak mungkin terjadi.1
Dalam artikel ini, saya menyajikan beberapa pendekatan untuk mendeteksi pencilan dalam R, dari teknik sederhana seperti statistik deskriptif (termasuk minimum, maksimum, histogram, boxplot, dan persentil) hingga teknik yang lebih formal seperti filter Hampel, Grubbs, Dixon, dan tes Rosner untuk pencilan.
Meskipun tidak ada aturan yang ketat atau unik apakah pencilan harus dihilangkan atau tidak dari dataset sebelum melakukan analisis statistik, namun cukup umum untuk, setidaknya, menghilangkan atau memperhitungkan pencilan yang disebabkan oleh kesalahan eksperimen atau pengukuran (seperti berat 786 kg (1.733 pon) untuk manusia). Beberapa tes statistik memerlukan ketiadaan pencilan untuk menarik kesimpulan yang tepat, tetapi menghilangkan pencilan tidak disarankan dalam semua kasus dan harus dilakukan dengan hati-hati.
Artikel ini tidak akan memberi tahu Anda apakah Anda harus menghapus pencilan atau tidak (atau apakah Anda harus memperhitungkannya dengan median, mean, modus, atau nilai lainnya), tetapi artikel ini akan membantu Anda mendeteksi pencilan untuk, sebagai langkah pertama, memverifikasinya. Setelah verifikasi, Anda dapat memilih untuk mengecualikan atau memasukkannya ke dalam analisis Anda (dan hal ini biasanya membutuhkan refleksi yang bijaksana dari sisi peneliti).
Menghapus atau mempertahankan pencilan sebagian besar bergantung pada tiga faktor:
Domain/konteks analisis Anda dan pertanyaan penelitian. Pada beberapa domain, menghapus outlier merupakan hal yang umum karena sering terjadi karena proses yang tidak berfungsi. Di bidang lain, outlier dipertahankan karena mengandung informasi yang berharga. Terkadang analisis dilakukan dua kali, sekali dengan dan sekali tanpa outlier untuk mengevaluasi dampaknya terhadap kesimpulan. Jika hasil berubah secara drastis karena beberapa nilai yang berpengaruh, hal ini harus menjadi peringatan bagi peneliti untuk membuat klaim yang terlalu ambisius.
Apakah uji yang akan Anda terapkan kuat terhadap keberadaan pencilan atau tidak. Sebagai contoh, kemiringan regresi linier sederhana dapat bervariasi secara signifikan hanya dengan satu pencilan, sedangkan uji non-parametrik seperti uji Wilcoxon biasanya kuat terhadap pencilan.
Seberapa jauh pencilan dari pengamatan lainnya? Beberapa pengamatan yang dianggap sebagai pencilan (menurut teknik yang disajikan di bawah ini) sebenarnya tidak terlalu ekstrem dibandingkan dengan semua pengamatan lainnya, sementara pencilan potensial lainnya mungkin sangat jauh dari pengamatan lainnya.
Dataset mpg dari paket {ggplot2} akan digunakan untuk mengilustrasikan pendekatan yang berbeda untuk mendeteksi outlier dalam R, dan khususnya kita akan fokus pada variabel hwy (mil jalan raya per galon).
Statistik deskriptif
Ada beberapa metode yang menggunakan statistik deskriptif. Di bawah ini kami sajikan yang paling umum.
library(tidyverse)
── Attaching core tidyverse packages ──────────────────────── tidyverse 2.0.0 ──
✔ dplyr 1.1.2 ✔ readr 2.1.4
✔ forcats 1.0.0 ✔ stringr 1.5.0
✔ ggplot2 3.4.2 ✔ tibble 3.2.1
✔ lubridate 1.9.2 ✔ tidyr 1.3.0
✔ purrr 1.0.1
── Conflicts ────────────────────────────────────────── tidyverse_conflicts() ──
✖ dplyr::filter() masks stats::filter()
✖ dplyr::lag() masks stats::lag()
ℹ Use the conflicted package (<http://conflicted.r-lib.org/>) to force all conflicts to become errors
Minimum Dan Maximum
Langkah pertama untuk mendeteksi outlier dalam R adalah memulai dengan beberapa statistik deskriptif, dan khususnya dengan minimum dan maksimum.
Dalam R, hal ini dapat dengan mudah dilakukan dengan fungsi summary():
data(mpg)summary(mpg$hwy)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
12.00 18.00 24.00 23.44 27.00 44.00
di mana minimum dan maksimum masing-masing adalah nilai pertama dan terakhir pada keluaran di atas.
Sebagai alternatif, mereka juga dapat dihitung dengan fungsi min() dan max(), atau range():2
min(mpg$hwy)
[1] 12
max(mpg$hwy)
[1] 44
range(mpg$hwy)
[1] 12 44
Beberapa kesalahan pengkodean yang jelas seperti berat 786 kg (1733 pon) untuk manusia akan dengan mudah terdeteksi oleh teknik yang sangat sederhana ini.
Histrogram
Cara dasar lain untuk mendeteksi pencilan adalah dengan menggambar histogram data.
Menggunakan basis R (dengan jumlah bin yang sesuai dengan akar kuadrat dari jumlah pengamatan untuk memiliki lebih banyak bin daripada opsi default):
hist(mpg$hwy,xlab ="hwy",main ="histrogram dari hwy",breaks =sqrt(nrow(mpg)))
Dari histogram, tampaknya ada beberapa pengamatan yang lebih tinggi daripada semua pengamatan lainnya (lihat batang di sisi kanan plot).
Boxplot
Selain histogram, boxplot juga berguna untuk mendeteksi potensi outlier. Menggunakan basis R:
boxplot(mpg$hwy,ylab ="hwy")
atau menggunakan boxplot
ggplot(data = mpg, mapping =aes(x ="", y = hwy))+geom_boxplot(fill ="aquamarine")+theme_minimal()
Boxplot membantu memvisualisasikan variabel kuantitatif dengan menampilkan lima ringkasan lokasi umum (minimum, median, kuartil pertama dan ketiga, serta maksimum) dan pengamatan apa pun yang diklasifikasikan sebagai pencilan yang dicurigai dengan menggunakan kriteria rentang antar kuartil (interquartile range, IQR).
Kriteria IQR berarti bahwa semua pengamatan di atas \(q_0.75 + 1.5 . IQR\) atau di bawahnya \(Q_0.25 - 1.5 . IQR\) (dimana \(q_0.25\) dan \(q_0.75\) masing-masing sesuai dengan kuartil pertama dan kuartil ketiga, dan \(IQR\) adalah selisih antara kuartil ketiga dan kuartil pertama.) dianggap pencilan potensial oleh R.
Dengan kata lain, semua pengamatan di luar interval berikut akan dianggap sebagai pencilan potensial:
\(I = [q_0.25 - 1.5 . IQR;q_0.75 + 1.5 . IQR]\)
Pengamatan yang dianggap sebagai pencilan potensial oleh kriteria IQR ditampilkan sebagai titik-titik di dalam boxplot. Berdasarkan kriteria ini, terdapat 2 pencilan potensial (lihat 2 titik di atas garis vertikal, di bagian atas boxplot).
Ingatlah bahwa bukan karena sebuah pengamatan dianggap sebagai pencilan potensial oleh kriteria IQR, maka Anda harus menghapusnya. Menghapus atau mempertahankan pencilan tergantung pada (i) konteks analisis Anda, (ii) apakah pengujian yang akan Anda lakukan pada set data kuat terhadap pencilan atau tidak, dan (iii) seberapa jauh pencilan tersebut dari pengamatan lain.
Anda juga dapat mengekstrak nilai dari pencilan potensial berdasarkan kriteria IQR berkat fungsi boxplot.stats()$out:
boxplot.stats(mpg$hwy)$out
[1] 44 44 41
Seperti yang Anda lihat, sebenarnya ada 3 titik yang dianggap sebagai pencilan potensial: 2 pengamatan dengan nilai 44 dan 1 pengamatan dengan nilai 41.
Berkat fungsi which(), kita dapat mengekstrak nomor baris yang berhubungan dengan pencilan ini:
out <-boxplot.stats(mpg$hwy)$outout_ind <-which(mpg$hwy %in%c(out))out_ind
[1] 213 222 223
Dengan informasi ini, Anda sekarang dapat dengan mudah kembali ke baris tertentu dalam kumpulan data untuk memverifikasinya, atau mencetak semua variabel untuk pencilan ini:
dengan menggunakan fungsi filter():
filter(mpg, hwy %in%c(out))
# A tibble: 3 × 11
manufacturer model displ year cyl trans drv cty hwy fl class
<chr> <chr> <dbl> <int> <int> <chr> <chr> <int> <int> <chr> <chr>
1 volkswagen jetta 1.9 1999 4 manua… f 33 44 d comp…
2 volkswagen new beetle 1.9 1999 4 manua… f 35 44 d subc…
3 volkswagen new beetle 1.9 1999 4 auto(… f 29 41 d subc…
Anda juga dapat mencetak nilai outlier secara langsung pada boxplot dengan fungsi mtext():
boxplot(mpg$hwy,ylab ="hwy",main ="boxplot jarak tempuh jalan raya per galon" )mtext(paste("Outliers: ", paste(out, collapse =", ")))
Persentil
Metode deteksi pencilan ini didasarkan pada persentil.
Dengan metode persentil, semua pengamatan yang berada di luar interval yang dibentuk oleh persentil 2,5 dan 97,5 akan dianggap sebagai pencilan potensial. Persentil lain seperti persentil 1 dan 99, atau persentil 5 dan 95 juga dapat dipertimbangkan untuk membangun interval.
Nilai persentil bawah dan atas (dan dengan demikian batas bawah dan atas interval) dapat dihitung dengan fungsi quantile():
lower_bound <-quantile(mpg$hwy, 0.025)lower_bound
2.5%
14
upper_bound <-quantile(mpg$hwy, 0.975)upper_bound
97.5%
35.175
Menurut metode ini, semua pengamatan di bawah 14 dan di atas 35,175 akan dianggap sebagai pencilan potensial. Nomor baris dari pengamatan di luar interval kemudian dapat diekstraksi dengan fungsi which():
# A tibble: 3 × 11
manufacturer model displ year cyl trans drv cty hwy fl class
<chr> <chr> <dbl> <int> <int> <chr> <chr> <int> <int> <chr> <chr>
1 volkswagen jetta 1.9 1999 4 manua… f 33 44 d comp…
2 volkswagen new beetle 1.9 1999 4 manua… f 35 44 d subc…
3 volkswagen new beetle 1.9 1999 4 auto(… f 29 41 d subc…
Menetapkan persentil ke 1 dan 99 memberikan potensi outlier yang sama dengan kriteria IQR.
Z-score
Jika data Anda berasal dari distribusi normal, Anda dapat menggunakan z-skor, yang didefinisikan sebagai
\(zi = \dfrac{x_i - \bar{X}}{sX}\)
dimana \(\bar{X}\) adalah rata-rata dari \(X\) dan \(sX\) adalah standar deviasi
Hal ini disebut sebagai penskalaan, yang dapat dilakukan dengan fungsi scale() di R.
Menurut metode ini, setiap z-score:
di bawah -2 atau di atas 2 dianggap langka
di bawah -3 atau di atas 3 dianggap sangat jarang
Metode lain juga menggunakan z-score di bawah -3,29 atau di atas 3,29 untuk mendeteksi pencilan. Nilai 3,29 ini berasal dari fakta bahwa 1 dari 1000 pengamatan berada di luar interval ini jika data mengikuti distribusi normal.
Dalam kasus :
mpg$z_hwy <-scale(mpg$hwy)hist(mpg$z_hwy)
summary(mpg$z_hwy)
V1
Min. :-1.92122
1st Qu.:-0.91360
Median : 0.09402
Mean : 0.00000
3rd Qu.: 0.59782
Max. : 3.45274
Kami melihat bahwa ada beberapa pengamatan di atas 3,29, tetapi tidak ada yang di bawah -3,29.
Untuk mengidentifikasi garis dalam kumpulan data pengamatan ini:
which(mpg$z_hwy >3.29)
[1] 213 222
Kami melihat bahwa observasi 213 dan 222 dapat dianggap sebagai pencilan menurut metode ini.
Hampel filter
Metode lain, yang dikenal sebagai Hampel filter terdiri dari mempertimbangkan sebagai outlier nilai-nilai diluar interval (\(I\)) yang dibentuk oleh median, ditambah atau dikurangi dengan 3 deviasi absolut median \(MAD^3\)
\(I = [median - 3 . MAD;median + 3 . MAD]\)
dimana \(MAD\) adalah deviasi absolut median dan didefinisikan sebagai median dari deviasi absolut dari median data \(\tilde{X}\) = \(median(\chi)\):
Menurut metode ini, semua pengamatan di bawah 9 dan di atas 39 akan dianggap sebagai pencilan potensial. Nomor baris dari pengamatan di luar interval kemudian dapat diekstraksi dengan fungsi which():
Menurut filter Hampel, ada 3 pencilan untuk variabel hwy.
Uji statistik
Pada bagian ini, kami menyajikan 3 teknik yang lebih formal untuk mendeteksi pencilan:
Uji Grubbs
Uji Dixon
Uji Rosner
Ketiga uji statistik ini merupakan bagian dari teknik yang lebih formal untuk mendeteksi outlier karena ketiganya melibatkan penghitungan statistik uji yang dibandingkan dengan nilai kritis yang ditabulasikan (yang didasarkan pada ukuran sampel dan tingkat kepercayaan yang diinginkan).
Perhatikan bahwa ketiga uji tersebut hanya sesuai jika data (tanpa pencilan) terdistribusi secara normal. Asumsi normalitas harus diverifikasi sebelum menerapkan tes-tes ini untuk pencilan (lihat cara menguji asumsi normalitas dalam R).
Uji Grubbs
Uji Grubbs memungkinkan untuk mendeteksi apakah nilai tertinggi atau terendah dalam dataset adalah pencilan.
Uji Grubbs mendeteksi satu pencilan dalam satu waktu (nilai tertinggi atau terendah), sehingga hipotesis nol dan alternatifnya adalah sebagai berikut:
\(H_0\) = nilai tertinggi bukan merupakan pencilan
\(H_1\) = nilai tertinggi adalah pencilan
jika kita ingin menguji nilai tertinggi, atau:
\(H_0\) = nilai terendah bukan merupakan pencilan
\(H_1\) = nilai terendah adalah pencilan
jika kita ingin menguji nilai terendah.
Untuk uji statistik apa pun, jika nilai \(p\) kurang dari ambang batas signifikansi yang dipilih(umumnya \(\alpha = 0.05\))maka hipotesis nol ditolak dan kita akan menyimpulkan bahwa nilai terendah/tertinggi adalah pencilan.
Sebaliknya, jika p-value lebih besar atau sama dengan tingkat signifikansi, maka hipotesis nol tidak ditolak, dan kita akan menyimpulkan bahwa, berdasarkan data, kita tidak menolak hipotesis bahwa nilai terendah/tertinggi bukanlah pencilan.
perhatikan bahwa uji Grubbs tidak sesuai untuk ukuran sampel 6 atau kurang(\(n \le 6\))
Untuk melakukan uji Grubbs di R, kita menggunakan fungsi grubbs.test() dari paket {outliers}:
library(outliers)test <-grubbs.test(mpg$hwy)test
Grubbs test for one outlier
data: mpg$hwy
G = 3.45274, U = 0.94862, p-value = 0.05555
alternative hypothesis: highest value 44 is an outlier
Nilai p-value adalah 0,056. Pada tingkat signifikansi 5%, kami tidak menolak hipotesis bahwa nilai tertinggi 44 bukanlah pencilan.
Secara default, pengujian dilakukan pada nilai tertinggi (seperti yang ditunjukkan pada output R: hipotesis alternatif: nilai tertinggi 44 adalah pencilan). Jika Anda ingin melakukan pengujian untuk nilai terendah, cukup tambahkan argumen opposite = TRUE pada fungsi grubbs.test():
test <-grubbs.test(mpg$hwy, opposite =TRUE)test
Grubbs test for one outlier
data: mpg$hwy
G = 1.92122, U = 0.98409, p-value = 1
alternative hypothesis: lowest value 12 is an outlier
Output R menunjukkan bahwa pengujian sekarang dilakukan pada nilai terendah (lihat hipotesis alternatif: nilai terendah 12 adalah pencilan).
Nilai p-value adalah 1. Pada tingkat signifikansi 5%, kita tidak menolak hipotesis bahwa nilai terendah 12 bukanlah pencilan.
Sebagai ilustrasi, sekarang kita akan mengganti pengamatan dengan nilai yang lebih ekstrem dan melakukan uji Grubbs pada set data baru ini. Mari kita ganti nilai 34 dengan nilai 212:
mpg[34, "hwy"] <-212
Dan sekarang kita menerapkan uji Grubbs untuk menguji apakah nilai tertinggi adalah pencilan:
test <-grubbs.test(mpg$hwy)test
Grubbs test for one outlier
data: mpg$hwy
G = 13.72240, U = 0.18836, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: highest value 212 is an outlier
Nilai p-value adalah < 0,001. Pada tingkat signifikansi 5%, kami menyimpulkan bahwa nilai tertinggi 212 adalah pencilan.
Uji Dixon’s
Serupa dengan uji Grubbs, uji Dixon digunakan untuk menguji apakah satu nilai rendah atau tinggi merupakan pencilan. Jadi, jika ada lebih dari satu pencilan yang dicurigai, pengujian harus dilakukan pada pencilan yang dicurigai ini secara individual.
Perhatikan bahwa uji Dixon paling berguna untuk ukuran sampel yang kecil (biasanya \(n \le 25\)).
Untuk melakukan uji Dixon di R, kami menggunakan fungsi dixon.test() dari paket {outliers}. Namun, kami membatasi dataset kami pada 20 observasi pertama karena uji Dixon hanya dapat dilakukan pada ukuran sampel yang kecil (R akan melemparkan kesalahan dan hanya menerima dataset dengan 3 hingga 30 observasi):
Dixon test for outliers
data: submpg$hwy
Q = 0.57143, p-value = 0.006508
alternative hypothesis: lowest value 15 is an outlier
Hasilnya menunjukkan bahwa nilai terendah 15 adalah pencilan (p-value = 0,007).
Untuk menguji nilai tertinggi, cukup tambahkan argumen opposite = TRUE ke fungsi dixon.test():
test <-dixon.test(submpg$hwy, opposite =TRUE)test
Dixon test for outliers
data: submpg$hwy
Q = 0.25, p-value = 0.8582
alternative hypothesis: highest value 31 is an outlier
Hasilnya menunjukkan bahwa nilai tertinggi 31 bukanlah pencilan (p-value = 0,858).
Merupakan praktik yang baik untuk selalu memeriksa hasil uji statistik untuk outlier terhadap boxplot untuk memastikan bahwa kita telah menguji semua outlier yang potensial:
out <-boxplot.stats(submpg$hwy)$outboxplot(submpg$hwy,ylab ="hwy")mtext(paste("Outliers: ", paste(out, collapse =", ")))
Dari boxplot tersebut, kita dapat melihat bahwa kita juga dapat menerapkan uji Dixon pada nilai 20 sebagai tambahan dari nilai 15 yang telah dilakukan sebelumnya.
Hal ini dapat dilakukan dengan mencari nomor baris dari nilai minimum, mengeluarkan nomor baris ini dari dataset dan akhirnya menerapkan uji Dixon pada dataset baru ini:
# menemukan dan mengecualikan nilai terendahremove_ind <-which.min(submpg$hwy)subsubmpg <- submpg[-remove_ind, ]#Uji Dixon pada set data tanpa minimumtest <-dixon.test(subsubmpg$hwy)test
Dixon test for outliers
data: subsubmpg$hwy
Q = 0.44444, p-value = 0.1297
alternative hypothesis: lowest value 20 is an outlier
Hasilnya menunjukkan bahwa nilai terendah kedua, yaitu 20, bukanlah pencilan (p-value = 0,13).
Uji Rosner’s
Uji Rosner untuk outlier memiliki kelebihan yaitu:
digunakan untuk mendeteksi beberapa outlier sekaligus (tidak seperti uji Grubbs dan Dixon yang harus dilakukan secara iteratif untuk menyaring beberapa outlier), dan
dirancang untuk menghindari masalah masking, di mana sebuah outlier yang nilainya dekat dengan outlier lain dapat tidak terdeteksi.
Tidak seperti uji Dixon, perlu diketahui bahwa uji Rosner paling tepat digunakan ketika ukuran sampel besar (\(n \ge 20\)). oleh karena itu, saya menggunakan dataset awal lagi mpg, yang mencangkup 234 observasi
Untuk melakukan uji Rosner, kami menggunakan fungsi rosnerTest() dari paket {EnvStats}. Fungsi ini membutuhkan setidaknya 2 argumen: data dan jumlah pencilan yang dicurigai k (dengan k = 3 sebagai jumlah pencilan yang dicurigai).
Untuk contoh ini, kami menetapkan jumlah dugaan pencilan sama dengan 3, seperti yang disarankan oleh jumlah pencilan potensial yang diuraikan dalam boxplot di awal artikel.
library(EnvStats)
Attaching package: 'EnvStats'
The following objects are masked from 'package:stats':
predict, predict.lm
test <-rosnerTest(mpg$hwy, k =3)test
Results of Outlier Test
-------------------------
Test Method: Rosner's Test for Outliers
Hypothesized Distribution: Normal
Data: mpg$hwy
Sample Size: 234
Test Statistics: R.1 = 13.722399
R.2 = 3.459098
R.3 = 3.559936
Test Statistic Parameter: k = 3
Alternative Hypothesis: Up to 3 observations are not
from the same Distribution.
Type I Error: 5%
Number of Outliers Detected: 1
i Mean.i SD.i Value Obs.Num R.i+1 lambda.i+1 Outlier
1 0 24.21795 13.684345 212 34 13.722399 3.652091 TRUE
2 1 23.41202 5.951835 44 213 3.459098 3.650836 FALSE
3 2 23.32328 5.808172 44 222 3.559936 3.649575 FALSE
Hasil yang menarik disediakan dalam tabel $all.stats:
Berdasarkan uji Rosner, kita melihat bahwa hanya ada satu pencilan (lihat kolom Outlier), yaitu observasi 34 (lihat Obs.Num) dengan nilai 212 (lihat Value).
Additional remarks
Anda akan menemukan banyak metode lain untuk mendeteksi pencilan:
di dalam paket {outliers},
melalui fungsi lofactor() dari paket {DMwR}: Local Outlier Factor (LOF) adalah sebuah algoritma yang digunakan untuk mengidentifikasi pencilan dengan membandingkan densitas lokal dari sebuah titik dengan tetangga-tetangganya,
outlierTest() dari paket {car} memberikan pengamatan yang paling ekstrim berdasarkan model yang diberikan dan memungkinkan untuk menguji apakah itu pencilan,
dalam paket {OutlierDetection}, dan
dengan fungsi aq.plot() dari paket {mvoutlier}:
library(mvoutlier)
Loading required package: sgeostat
y <-as.matrix(ggplot2::mpg[, c("cyl", "hwy")])res <-aq.plot(y)
Perhatikan juga bahwa beberapa transformasi dapat secara “alami” menghilangkan pencilan. Log natural atau akar kuadrat dari suatu nilai mengurangi variasi yang disebabkan oleh nilai ekstrem, sehingga dalam beberapa kasus, penerapan transformasi ini akan menghilangkan pencilan.
